2020,10.7 找完工作更一下，这文章都写了快两年了，评论有些刚入门的同学还是会问一些基础问题，很久之前看到一篇论文，他用具体例子给出了多目标优化，更形象，然后自己也plot了一下，对于理解多目标优化应该更有好处。

example:有个求最小化的优化问题，2个变量，两个目标函数，目标1的空间曲线如下图所示

目标2的空间曲线：

现在在设计空间均匀的取点阵，然后计算所有点的真实目标值，便可以得到解空间和目标空间的分布情况了，如下图所示：

可以很清晰的看到，右图红色点不被任意其他点支配，所以是Pareto 前沿点（如果解空间点阵足够密集，就是一条线了），左图的设计空间的红色点，就是其对应的Pareto最优解集，所以现在的一些多目标优化算法主要就是求解问题的Pareto前沿或者近似前沿。从目标空间来看，就是他的边界了。

这波更新对于刚入门的同学应该比较友好了，后续应该也不会再更新了，评论有疑问有空会解答一下，毕竟以后不搞这一块了，还得抓紧学其他的。

下面是原回答：

发现一个奇怪的现象，平时看东西看得挺多的，但是过了不久就又忘记了，而且也说不出个所以然来，可能就是没有好好的消化，总结吧。因此想到了把平时学的一些东西，用知乎记下来，一来作为自己的一个总结，方便后续的复习，二来假如有人能够看到的话对其有帮助也不错，能够提一些意见就再好不过了。

注：一些东西公式之类的，很多都是参考别人的论文，书籍等，自己也没有敲，这里只是自己的一个笔记本，侵删

步入正题：听了好几次师兄讲解帕累托最优，多目标优化的内容，奈何组会时间太短，短时间根本无法理解（智商原因），所以昨晚突发奇想查了一些资料，发现配合例子讲解很容易明白

多目标优化问题生活中很常见，比如汽车车身零部件设计中，要求设计的零件刚度要很大，同时质量很轻，这就是一个两目标问题，同时他还有一些条件约束，比如模态约束，尺寸约束等。再者金融领域中，我们希望投入的资金少，风险小，并且获得的利益最大，这就是一个三目标问题，但是掰着脚趾头都知道同时达到这三个目标是不可能的，多目标优化就是给出他的一些列可能的选择，然后用户自己去评判想选谁，哈哈，是不是很鸡肋。

多目标优化问题的数学模型一般可以写成如下形式

表示n个目标函数，目标是都使之达到最小， 是其变量的约束集合，可以理解为变量的取值范围，下麦介绍具体的解之间的支配，占优关系，不用公式，通俗易懂。

1：解A优于解B（解A强帕累托支配解B）

假设现在有两个目标函数，解A对应的目标函数值都比解B对应的目标函数值好，则称解A比解B优越，也可以叫做解A强帕累托支配解B，举个例子，就很容易懂了

下图中代表的是两个目标的的解的情况，横纵坐标表示两个目标函数值，E点表示的解所对应的两个目标函数值都小于C，D两个点表示的解所对应的两个目标函数值，所以解E优于解C,D.

2：解A无差别于解B（解A能帕累托支配解B）(修改：此处的“能”应该是与前文的“强”对应，时间比较久了，A,B两点严格意义上是非支配关系)

同样假设两个目标函数，解A对应的一个目标函数值优于解B对应的一个目标函数值，但是解A对应的另一个目标函数值要差于解B对应的一个目标函数值，则称解A无差别于解B，也叫作解A能帕累托支配解B，举个例子，还是上面的图，点C和点D就是这种情况，C点在第一个目标函数的值比D小，在第二个函数的值比D大。

3：最优解

假设在设计空间中，解A对应的目标函数值优越其他任何解，则称解A为最优解，举个例子，下图的 就是两个目标函数的最优解，使两个目标函数同时达到最小，但是前面也说过，实际生活中这种解是不可能存在的。真要存在就好了，由此提出了帕累托最优解

4：帕累托最优解

同样假设两个目标函数，对于解A而言，在 变量空间 中找不到其他的解能够优于解A（注意这里的优于一定要两个目标函数值都优于A对应的函数值），那么解A就是帕累托最优解，举个例子，下图中应该找不到比 对应的目标函数都小的解了吧，即找不到一个解优于 了，同理也找不到比 更优的解了，所以这两个解都是帕累托最优解，实际上， 这个范围的解都是帕累托最优解，不信自己慢慢想。因此对于多目标优化问题而言，帕累托最优解只是问题的一个可接受解，一般都存在多个帕累托最优解，这个时候就需要人们自己决策了。

5：帕累托最优前沿

还是看 刚才 那张图 ，如下图所示，更好的理解一下帕累托最优解，实心点表示的解都是帕累托最优解，所有的帕累托最优解构成帕累托最优解集，这些解经目标函数映射构成了该问题的Pareto最优前沿或Pareto前沿面，说人话，即帕累托最优解对应的目标函数值就是帕累托最优前沿。

对于两个目标的问题，其Pareto最优前沿通常是条线。而对于多个目标，其Pareto最优前沿通常是一个超曲面。